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已知A，B，C是長軸長為4的橢圓上的三個點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，如圖，且＝0，|BC|＝2|AC|．

(1)求橢圓的方程；

(2)如果橢圓上兩點P，Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則是否存在實數λ，使＝λ？請說明理由．

答案：
解析：

　　解　　(1)如圖，設所求橢圓的方程為：＝1(0＜b＜，且A(2，0)，由橢圓的對稱性知|OC|＝|OB|，由＝0得AC⊥BC．

　　∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐標為(1，1)．

　　∵C點在橢圓上，

　　∴＝1，∴b2＝，所求的橢圓方程為

＝1．

　　(2)由于∠PCQ的平分線垂直OA(即垂直于x軸)，不妨設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為－k，直線PC的方程為：y＝k(x－1)＋1，直線QC的方程為y＝－k(x－1)＋1．

　　

　　∵點C(1，1)在橢圓上，∴x＝1是方程(*)的一個根，則其另一根為．設P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，則方程(*)的另一根就是P點橫坐標xP＝．

　　同理xQ＝．由此可算出

　　kPQ＝．

　　而由對稱性知B(－1，－1)，又A(2，0)，

　　∴kAB＝．

　　∴kPQ＝kAB，∴與共線，且≠0，即存在實數λ，使＝λ．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•上虞市二模）已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，如圖，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實數λ，使
PQ
=λ
AB
，請給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（I）建立適當的坐標系，求橢圓方程；
（II）如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實數λ，使
PQ
=λ
AB
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知A、B、C是長軸為4的橢圓上的三點，點A是長軸的右頂點，BC過橢圓中心O，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過C關于y軸對稱的點D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關系？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

２１.(本題12分)

如圖，已知A、B、C是長軸長為4   的橢圓上的三點，點A是長軸的右頂點，BC過橢圓中心O，且·=0，，

（1）求橢圓的方程；

（2）若過C關于y軸對稱的點D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關系？證明你的結論.

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河南省南陽一中高三（下）第六次周考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O，如圖，且，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實數λ，使，請給出證明．

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