Question

在各項均為正數的等比數列{a_n}中，已知a₂=2a₁+3，且3a₂，a₄，5a₃成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₃a_n，求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據已知條件建立等式，轉化成首項和公比，解之即可求出所求；
（II）先求出數列{a_nb_n}的通項公式，根據通項公式的特點利用錯位相消法進行求和，從而求出所求．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，由題意得q＞0，
且

a2=2a1+3 3a2+5a3=2a4，

即

a1(q-2)=3 2q2-5q-3=0

解得

a1=3 q=3

或

a1=- 6 5 q=- 1 2

（舍去），
所以數列{a_n}的通項公式為an=3×3n-1=3n，n∈N*．．    …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=log₃a_n=n，所以anbn=n•3n．
所以Sn=1×3+2×32+3×33+…+n•3n，
所以3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n•3n+1，
兩式相減得2Sn=-(3+32+33+…+3n)+n•3n+1=

-3(1-3n)

1-3

+n•3n+1=

3+(2n-1)•3n+1

2

，
即Sn=

3+(2n-1)•3n+1

4

．                             …（12分）

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式，以及利用錯位相消法進行求和，同時考查了計算能力，屬于基礎題．