Question

如圖2-3-9,正方體有8個頂點和12條棱,每條棱上均有一個中點,于是有棱的中點12個,頂點與中點合起來共有20個〔圖2-3-9(1)〕.過其中的兩點可作一條直線;過其中不在同一直線上的三點可作一個平面.現在考慮這些直線與平面的垂直關系.

                                      圖2-3-9

(1)試舉出一直線與一平面相互垂直的例子(不少于4例).

(2)若一直線與一平面相互垂直,我們就說這條直線與這個平面構成了一個“垂直關系組”,兩個“垂直關系組”當且僅當其中兩條直線和兩個平面不全同一時稱為相異的(或不同的).試求與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數.

Answer 1

思路解析:在正方體中,所有的棱都和與它相交的面垂直,利用中點也可產生與棱垂直的面.

答案:如圖2-3-10.

                                             圖2-3-10

(1)例如AB⊥平面BCKJ;

例如EF⊥平面MPON〔如圖2-3-10(1)〕;

例如NF⊥平面ADKJ〔如圖2-3-10(2)〕;

例如IC⊥平面AJL〔如圖2-3-10(3)〕.

(2)正方體的棱有12條,而每一條棱都與3個平面垂直,如圖2-3-10(1)中棱IJ與平面ID、平面NP及平面JC都垂直,所以與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數是12×3=36.