Question

已知函數(shù)，（是不同時(shí)為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為。

（1）當(dāng)時(shí)，若存在，使成立，求的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，==，其對(duì)稱軸為直線，

當(dāng) 解得，當(dāng)無(wú)解，

所以的的取值范圍為．………………………………………………………4分

（2）因?yàn)?sub>，

法一：當(dāng)時(shí)，適合題意.…………………………………6分

當(dāng)時(shí)，，令，則，

令，因?yàn)?sub>，

當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)有零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，所以在（內(nèi)有零點(diǎn)．

   因此，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．…………………………………10分

法二：，，

由于不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立．

 (3)因?yàn)?sub>=為奇函數(shù)，所以, 所以，

又在處的切線垂直于直線，所以，即．

因?yàn)?sub>，所以在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，如圖所示，

當(dāng)時(shí)，，即，解得；

當(dāng)時(shí)， ，解得；

當(dāng)時(shí)，顯然不成立；

當(dāng)時(shí)，，即，解得；

當(dāng)時(shí)，，故．

所以所求的取值范圍是，或．

（以上各題如考生另有解法，請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分）