Question

求由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)分割 　　在區間[1，2]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區間： 　　[1，]，[，]，…，[，2]， 　　記第i個區間為[，](i＝1，2，…，n)，其長度為Δx＝－＝． 　　分別過上述n－1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如下圖)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則小區邊梯形面積的和為S＝ΔSi． 　　(2)近似代替 　　記f(x)＝．當n很大，即Δx很小時，在區間[，]上，可以認為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個常數，不妨認為它等于f()．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區間[，]上，用小矩形面積Δ近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內“以直代曲”，則有ΔSi≈Δ＝f()Δx＝·＝(i＝1，2，…，n)． 　　(3)求和 　　小曲邊梯形的面積和Sn＝ΔSi≈Δ 　　＝＝＋…＋ 　　＝n(－＋－＋…＋－)＝n(－)＝． 　　從而得到S的近似值S≈Sn＝． 　　(4)取極限 　　分別將區間[1，2]等分成8，16，20，…等份時，Sn越來越趨向于S，從而有 　　S＝Sn＝． 　　∴由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S為．