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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在△ABC中，分別根據下列條件，判斷三角形的形狀．
（1）lga-lgc=lgsinB=-lg
2
（B為銳角）；
（2）sinA=2cosCsinB；
（3）A、B、C成等差數列，a，b，c成等比數列
（4）acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC；
（5）
a3+b3-c3
a+b-c
=c2，且sinAsinB=
3
4
；
（6）（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B）．
分析：（1）先由對數的運算性質化簡，可得
a
c
=sinB=
2
2
，從而可求B，再利用正弦定理代入可求A，C
（2）利用正弦、余弦定理化簡可得
（3））∵A、B、C成等差數列，∴A+C=2B，從而可得A+C=
2π
3
，B=
π
3
，由a、b、c成等比數列可得b2=ac，結合已知及正弦定理可求
（4）利用余弦定理可得由余弦定理可得
a•
a2+c2- b2
2ac
+b•
a2+b2- c2
2ab
+c•
b2+c2-a2
2bc
=b•
b2+c2-a2
2bc
+c•
a2+c2- b2
2ac
+a•
a2+b2-c2
2ab

整理可得
(b-a)(c-a)(b-c)(a+b+c)
abc
=0，從 而可得a=b=c
（5）先把已知整理可得，a2+b2-c2=ab，利用余弦定理可求C，及A+B，再由sinAsinB=
3
4
代入可求
（6））由（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B）可得a2[sin（A-B）-sin（A+B）]+b2[sin（A-B）+sin（A+B）]=0
整理可得sin2A=sin2B，從而可得
解答：解：（1）∵lga-lgc=lgsinB=-lg
2

∴lg
a
c
=lgsinB=lg
2
2
∴
a
c
=sinB=
2
2

∵B為銳角，∴∠B=
π
4
，A+C=
3π
4

由正弦定理可得，
a
c
=
sinA
sinC
=
2
2
，
sin(
3π
4
-C )
sinC
=
2
2

整理可得cosC=0∴C=
π
2
，A=
π
4

∴△ABC為等腰直角三角形
（2）∵sinA=2cosCsinB
由正弦定理及余弦定理可得，a=b×
a2+b2-c2
ab

化簡可得，b=c
所以△ABC為等腰三角形
（3）∵A、B、C成等差數列，∴A+C=2B，從而可得A+C=
2π
3
，B=
π
3

∵a、b、c成等比數列∴b2=ac
由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=
3
4

∴sinAsin(
2π
3
-A)=
3
4
∴sinA(
3
2
cosA+
1
2
sinA)=
3
4
，
整理可得sin(2A-
π
6
)= 1，則B=C=A=
π
3
，
∴三角形△ABC為等邊三角形
（4）∵acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC
由余弦定理可得
a•
a2+c2- b2
2ac
+b•
a2+b2- c2
2ab
+c•
b2+c2-a2
2bc
=b•
b2+c2-a2
2bc
+c•
a2+c2- b2
2ac
+a•
a2+b2-c2
2ab

整理可得
b2-c2
a
+
c2-a2
b
 +
a2-b2
c
=0
∴
b2-a2
a
+
a2- c2
a
+
c2-a2
b
+
a2-b2
c
=0
整理可得
(b-a)(c-a)(b-c)(c+b+a)
abc
=0
∴a=b或a=c或b=c
三角形△ABC為等腰三角形
（5）由已知可得，a3+b3-c3=ac2+bc2-c3
∴（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）c2
∴a2+b2-c2=ab
由余弦定理可得cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
，∴C=
π
3
，A+B=
2
3
π
∵sinAsinB=
3
4
  ∴sinAsin(
2π
3
-A)=
3
4

∴sinA(
3
2
cosA+
1
2
sinA)=
3
4
，
整理可得sin(2A-
π
6
)= 1，則B=C=A=
π
3
，
三角形△ABC為等邊三角形
（6）（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B）
可得a2[sin（A-B）-sin（A+B）]+b2[sin（A-B）+sin（A+B）]=0
a2sinBcosA=b2sinAcosB
由正弦定理sin2AsinBcosA=sin2BsinAcosB
整理可得sin2A=sin2B，從而可得2A=2B或2A+2B=π
A=B或A+B=
π
2

∴三角形△ABC為等腰三角形或直角三角形
點評：本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理綜合解三角形，判斷三角形的形狀，還考查了三角函數的公式，屬于對基本知識的求解，但要體會在化簡中的技巧．
練習冊系列答案
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在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，若A=60°，b、c分別是方程x2-7x+11=0的兩個根，則a等于
 
．

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在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c(b≠1)，且
sinB
sinA
，
C
A
都是方程log
b
x=logb(4x-4)的根，求角A、B、C的值．

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下列四種說法：①命題“?α∈R，sin3α=sin2α”的否定是假命題；②在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=1，b=
2
，A=
π
6
則B=
π
4
；③設二次函數f（x）=x2+ax+a，則“0＜a＜3-2
2
”是“方程f（x）-x=0的兩根x1和x2滿足0＜x1＜x2＜1”的充分必要條件．④過點（
1
2
，1）且與函數y=
1
x
的圖象相切的直線方程是4x+y-3=0．其中所有正確說法的序號是
①④
①④
．

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在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b是方程x2-2
3
x+2=0的兩根，2cos（A+B）=1，則△ABC的面積為（　　）

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在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若關于x的方程x2-2xsin
C
2
+sin2C=0有等根
（1）求角C；
（2）若a2+2b2=c2，求
bsinA
c
．

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