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已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（II）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的距離的最小值．
分析：（I）設直線AB方程為x=my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y2=4x，得y2-4my-4b=0，利用韋達定理，結合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過定點M（4，0）．
（II）P（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）到直線x-y=0的距離d=
|
x1+x2
2
-
y1+y2
2
|
2
，由此能求出點P到直線x-y=0的距離的最小值．
解答：解：（I）設直線AB方程為x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線AB方程代入拋物線方程y2=4x，
得y2-4my-4b=0，
則y1+y2=4m，y1y2=-4b，
∵OA⊥OB，x1=
y12
4
，x2=
y22
4
，
∴kOA•kOB=
y1y2
x1x2
=
16
y1y2
=-
4
b
=-1，b=4．
于是直線AB方程為x=my+4，該直線過定點（4，0）．
（II）P（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）到直線x-y=0的距離
d=
|
x1+x2
2
-
y1+y2
2
|
2

=
|y12+y22-4(y1+y2)|
8
2

=
|16m2+32-16m|
8
2

=
2
(m2-m+2)
=
2
(m-
1
2
)2+
7
2
4
，
當m=
1
2
時，d取最小值
7
2
4
．
點評：本題考查直線過定點的證明，考查點到直線的距離的最小值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理、點到直線的距離公式的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩點，F為拋物線的焦點，l為拋物線的準線．
（1）若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；
（2）若
OA
•
OB
+p2=0（A、B異于原點），直線OB與過A且垂直于X軸的直線m相交于P點，求P點軌跡方程；
（3）若直線AB過拋物線的焦點，分別過A、B點的拋物線的切線相交于點T，求證：
AT
•
BT
=0，并且點T在l上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•青浦區二模）（理）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0=5，試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•青浦區二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點的橫坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩個動點，O為坐標原點，非零向量
OA
， 
OB
滿足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|．
（Ⅰ）求證：直線AB經過一定點；
（Ⅱ）當AB的中點到直線y-2x=0的距離的最小值為
2
5
5
時，求p的值．

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