Question

設a為常數(shù)，a∈R，函數(shù)f（x）=x²+|x﹣a|+1，x∈R．

（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；

（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點：

帶絕對值的函數(shù)；函數(shù)奇偶性的判斷．

專題：

計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．

分析：

（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，采用比較系數(shù)法，可得（x+a）²=（x﹣a）²對任意的x∈R成立，故可得a=0．

（2）分x≤a與x＞a兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以分析，可得當時，函數(shù)在x=a處取得最小值，而當時，函數(shù)在x=﹣處取得最小值；當時，函數(shù)在x=處取得最小值．由此即可得到本題的答案．

解答：

解：（1）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴對任意的x∈R都有f（﹣x）=f（x），

即（﹣x）²+|﹣x﹣a|+1=x²+|x﹣a|+1，對任意的x∈R都有|x+a|=|x﹣a|，

也就是（x+a）²=（x﹣a）²對任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．

（2）①當x≤a時，．

若，則函數(shù)f（x）在（﹣∞，a]上單調(diào)遞減．

所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1．

若，則函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，a]上的最小值為．

②當x＞a時，．

若，則函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

所以函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為．

若，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）單調(diào)遞增．

所以函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．

綜上所述，可得

當時，函數(shù)f（x）的最小值是；當時，函數(shù)f（x）的最小值是a²+1；

當時，函數(shù)f（x）的最小值是．

點評：

本小題主要考查偶函數(shù)的概念，考查二次函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎知識以及運算求解能力、分類討論思想等知識，屬于中檔題．