Question

已知函數f(x)=-x³+ax²-4()，是f(x)的導函數.
（1）當a=2時，對任意的求的最小值；
（2）若存在使f(x₀)>0，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）-11（2）

試題分析：
（1）把a=2帶入f(x),對f(x)求導得單調性，得極值與[-1,1]區間端點對應的函數值進行比較得到最小值，對f(x)求導得到導函數,導函數為二次函數可以對稱軸圖像得到導函數在區間[-1,1]上的最小值，函數f(x)與f(x)的導函數最小值之和即為的最小值.
（2）該問題為固定區間上的恒成立問題，只需要函數f(x)在區間最小值大于0.關于函數f(x)的最值可以通過求導求單調性來得到在該區間上的最值，由于導函數是含參數的二次函數，故討論需遵循開口，有無根，根的大小等步驟進行分類討論確定原函數的單調性，得到最小值，進而得到a的取值范圍.
試題解析：
（1）由題意知
令    2分
當在[-1，1]上變化時，隨的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
	-7	-	0	+	1
	-1	↓	-4	↑	-3

的最小值為    4分
的對稱軸為，且拋物線開口向下,
的最小值為    5分
的最小值為-11.    6分
（2）.
①若,上單調遞減，
又
    9分
②若當
從而上單調遞增，在上單調遞減，
.    12分
根據題意，
綜上，的取值范圍是    14分
(或由,用兩種方法可解)