Question

已知函數f(x)=x³-2ax²+3x(x∈R).
（1）若a=1,點P為曲線y=f(x)上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；
（2）若函數y=f(x)在（0，+∞）上為單調增函數，試求滿足條件的最大整數a.

Answer 1

（1）3x－3y+2=0；（2）1

（1）設切線的斜率為k，
則k==2x²－4x+3=2(x－1)²+1, …………2分
當x=1時，k_min=1.又f(1)=，
所以所求切線的方程為y－=x－1,
即3x－3y+2="0.         " ……………………6分
（2）=2x²－4ax+3,要使y=f(x)為單調遞增函數，
必須滿足＞0，即對任意的
x∈（0，+∞）,恒有＞0，=2x²－4ax+3＞0, ………………8分
∴a＜=+,而+≥，
當且僅當x=時，等號成立.
所以a＜，……………11分
所求滿足條件的a值為1  ……………12分