Question

已知函數(shù)，，(為自然對數(shù)的底數(shù))．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，求的最小值；
（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅱ）（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）函數(shù)f (x)的定義域為，
當(dāng)時，
由， 由．
故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．                               ……4分
（Ⅱ）在恒成立等價于：在恒成立，
令則，x∈,
于是在上為減函數(shù)，又在x=e處連續(xù),
故在,
從而要使對任意的恒成立．
只要，故的最小值為．                                             ……9分
（Ⅲ）一次函數(shù)在上遞增，故函數(shù)在上的值域是．
當(dāng)時，為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意；
當(dāng)時，，
要使在不單調(diào)，只要，此時　①
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
注意到時，
∴
∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件，即
令，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時有即對任意恒成立．
又由，解得……②
∴　綜合①②可知，當(dāng)時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立．