Question

已知函數f（x）定義域為實數R，對任意的實數x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），又當x＞0時，f（x）＜0且f（2）=-1．
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）判斷f（x）在R上的單調性．
（3）求f（x）在[-6，6]的最值．

Answer 1

分析：（1）由已知中對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我們可以得到設x=y=0，則f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），進而根據函數奇偶性的定義得到結論f（x）為奇函數，
（2）再利用函數單調性的定義由x＞0時，有f（x）＞0，結合對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判斷出函數的單調性，
（3）根據單調性，以及f（2）=-1，得到f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值．

解答：解：（1）令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數．
（2）任取兩個自變量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數．
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上是減函數
∴f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值                
最小值為f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=-3；
最大值為f（-6）=-f（6）=3．

點評：本題考查的知識點是抽象函數，函數單調性與性質，是對函數性質及應用的綜合考查，屬于中檔題．