Question

如圖2-1-17,AM是⊙O的直徑,過⊙O上一點B作BN⊥AM,垂足為N,其延長線交⊙O于點C,弦CD交AM于點E.

(1)如果CD⊥AB,求證:EN=MN.

(2)如果弦CD交AB于點F,且CD=AB,求證:CE²=EF·ED.

(3)如果弦CD、AB的延長線交于點F,且CD=AB,那么(2)的結(jié)論是否仍成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

圖2-1-17

Answer 1

(1)證明:連結(jié)BM,∵CD⊥AB,

∴∠BCE+∠ABC=90°.

∵AM是直徑,∴∠MBN+∠ABC=90°.

∴∠BCE=∠MBN.

又∵ON⊥BC,∴BN=CN,∠BNM=∠CNE.

∴△BNM≌△CNE.

∴EN=MN.

(2)證明:連結(jié)BD、BE、AC.

∵CD=AB∠ACD=∠D.

△ABE≌△ACE∠ACD=∠ABE.

△BEF∽△DEB=

(3)如圖2-1-18,(2)的結(jié)論仍成立.

圖2-1-18

證明:∵AM⊥BC,

∴BE=CE,AB=AC.

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∵AB=CD,

∴∠4=∠DBC.

∴∠3=∠DBC=∠2+∠5.

又∵∠3=∠F+∠1,∴∠F=∠5.

∵∠BED=∠FEB,∴△BDE∽△FBE.

∴.

∴BE²=EF·ED.∴CE²=EF·ED.