Question

（2013•菏澤二模）已知函數①y=sinx+cosx，②y=2

2

sinxcosx，則下列結論正確的是（　　）

• A．兩個函數的圖象均關于點（-

  π

  4

  ，0）成中心對稱
• B．①的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，再向右平移

  π

  4

  個單位即得②
• C．兩個函數在區間（-

  π

  4

  ，

  π

  4

  ）上都是單調遞增函數
• D．兩個函數的最小正周期相同

Answer 1

分析：①函數解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化簡為一個角的正弦函數；②函數解析式利用二倍角的正弦函數公式化簡為一個角的正弦函數，然后分別對各項判斷即可．

解答：解：①y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），②y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x，
A、①中的函數令x+

π

4

=kπ（k∈Z），解得：x=kπ-

π

4

（k∈Z），故（-

π

4

，0）為函數對稱中心；
②中的函數令2x=kπ（k∈Z），解得：x=

kπ

2

（k∈Z），故（-

π

4

，0）不是函數對稱中心，本選項錯誤；
B、①向右平移

π

4

個單位，再縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的

1

2

倍，即得②，本選項錯誤；
C、①令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，故函數在區間（-

π

4

，

π

4

）上是單調遞增函數；
②令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，故函數在區間（-

π

4

，

π

4

）上是單調遞增函數，本選項正確；
D、①∵ω=1，∴T=2π；
②∵ω=2，∴T=π，本選項錯誤，
故選C

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦函數公式，正弦函數的單調性及周期性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．