Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以橢圓的
左頂點為圓心作圓，設圓與橢圓交于點與點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設點是橢圓上異于、的任意一點，且直線、分別與軸交于點、，為坐標原點，求證：為定值.

Answer 1

（1）；（2）的最小值為，此時圓的方程為；
（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用圓的方程的求出的值，然后根據離心率求出的值，最后根據、、的關系求出，最后確定橢圓的方程；（2）先根據點、的對稱性，設點，將表示為的二次函數，結合的取值范圍，利用二次函數求出的最小值，從而確定點的坐標，從而確定圓的方程；（3）設點，求出、的方程，從而求出點、的坐標，最后利用點在橢圓上來證明為定值.
（1）依題意，得，，，，
故橢圓的方程為；
（2）點與點關于軸對稱，設、， 不妨設，
由于點在橢圓上，所以，  （*）       
由已知，則，，
，
，
由于，故當時，取得最小值為，
由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到，
故圓的方程為：；
（3）設，則直線的方程為：，
令，得， 同理：，
故     （**）
又點與點在橢圓上，故，，
代入（**）式，得：

所以為定值.