Question

已知f（x）=2^x+

1

2x

（1）判斷函數的奇偶性并證明；
（2）判斷函數在（-∞，0）內的單調性并證明．

Answer 1

（1）函數是一個偶函數，證明如下
由已知f（x）=2^x+

1

2x

=2^x+2^-x，
∵f（-x）=2^x+2^-x=f（x）
∴函數是一個偶函數
（2）是減函數，證明如下
任取x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)
由于x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數在（-∞，0）內是減函數