Question

（本題12分）已知等比數列{a_n}的公比q＝3，前3項和S₃＝.

(Ⅰ)求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)若函數f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝處取得最大值，且最大值為a₃，

求函數f(x)的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n＝×3^n－1＝3^n－2.（2）f(x)＝3sin.

【解析】本試題主要是結合數列的概念得到數列的通項公式，然后結合三角函數中的性質得最值問題，從而求解得到解析式。

（1）利用等比數列{a_n}的公比q＝3，前3項和S₃＝，結合前n項和公式解得首項，從而得到通項公式

（2）中利用第一問的結論，得到a₃＝3，從而得到函數的振幅，同時把x＝代入解析式中，是的函數取得最大值，得到φ的值，從而求解得到解析式。

解：(Ⅰ)由q＝3，S₃＝得＝，解得a₁＝. 所以a_n＝×3^n－1＝3^n－2.

(Ⅱ)由(1)可知a_n＝3^n－2，所以a₃＝3.  因為函數f(x)的最大值為3，所以A＝3；因為當x＝時f(x)取得最大值，所以sin＝1.  又0<φ<π，故φ＝.

所以函數f(x)的解析式為f(x)＝3sin.