Question

已知函數的導數為實數，.

（Ⅰ）若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；

Answer 1

解：由已知得，

由，得，．

∵，，

∴ 當時，，遞增；

當時，，遞減．

∴ 在區間上的最大值為，∴．

又，，

∴ ．

由題意得，即，得．

故，為所求．　　　　　

（Ⅱ）解：由（1）得，，點在曲線上．

⑴ 當切點為時，切線的斜率，

∴ 的方程為，即．

⑵當切點不是切點時，設切點為，切線的斜率，

∴ 的方程為 ．

又點在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切線的方程為．

故所求切線的方程為或．　　　

（ 或者：由（1）知點A（0，1）為極大值點，所以曲線的點A處的切線為，恰好經過點，符合題意．）