Question

已知圓C₁：x²+y²=5和圓C₂：x²+y²=1，O是原點，點B在圓C₁上，OB交圓C₂于C．點D在 x軸上，

.

BD

•

.

OD

=0，AJ在BD上，

.

BD

•

.

CA

=0．
（1）求點A的軌跡H的方程
（2）過軌跡H的右焦點作直線交H于E、F，是否在y軸上存在點Q使得△QEF是正三角形；若存在，求出點q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知B（

5

cosα，

5

sinα），C（cosα，sinα），D（

5

cosα，0），設A（x，y），由參數方程能夠得到軌跡H的方程．
（2）由

my=x-2 x2+5y2=5

，得（m²+5）y²+4my-1=0，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF的中點為T（x₀，y₀），y0=

y1+y2

2

=-

2m

m2+5

，x0=my0+2=

10

m2+5

，EF的中垂線為y+

2m

m2+5

=-m(x-

10

m2+5

)，由此能求出q的坐標．

解答：解：（1）由題設知B（

5

cosα，

5

sinα），C（cosα，sinα），D（

5

cosα，0），
設A（x，y），
∵

.

BD

•

.

CA

=0．
∴（0，-

5

sinα）•（x-cosα，y-sinα）=0，
由參數方程能夠得到軌跡H的方程是

x2

5

 +y2=1．
（2）由

my=x-2 x2+5y2=5

⇒（m²+5）y²+4my-1=0，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
EF的中點為T（x₀，y₀），
y0=

y1+y2

2

=-

2m

m2+5

，x0=my0+2=

10

m2+5

，
EF的中垂線為y+

2m

m2+5

=-m(x-

10

m2+5

)，
令x=0，得q=

8m

m2+5

，m∈R，
又|QT|=

3

2

|AB|，
則

100

(m2+5)2

+

100m2

(m2+5)2

=

3

4

•

20(1+m2)2

(m2+5)2

，
得m2=

17

3

，
q=±

51

4

．

點評：本題考查點的軌跡的求法和點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．