Question

由平面α外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A、B、C，O為△ABC的外心，求證：OP⊥α.

Answer 1

見解析

學生錯解：證明：因為O為△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因為PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以OP⊥α.
審題引導：要記OP⊥α，需記OP垂直于α內兩條相交的直線，由圖形易知，可考慮證OP垂直于△ABC的兩條邊，注意到圖中的等腰三角形PBC、OBC，不準找到證題途徑．
規范解答：證明：取BC的中點D，連結PD、OD，
∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)
又PD平面POD，OD?平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)
∵PO平面POD，∴BC⊥PO.
同理AB⊥PO.(12分)
又AB、BC是α內的兩條相交直線，∴PO⊥α.(14分)
錯解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是對的，但它們為什么是直角呢？這里缺少必要的證明．