Question

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，證明函數f（x）只有一個零點；
（Ⅲ）f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），兩點，AB中點為C（x₀，0），求證：f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可得f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在定義域（0，+∞）上遞增，可得f′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min   
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
對函數求導，利用導數的知識判斷函數f（x）在區間（0，1），（1，+∞）上單調性可知
當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0，當x≠1時，f（x）＜f（1）=0即函數f（x）只有一個零點       
（Ⅲ）由已知得 

f(x1)=lnx1-a x 2 1 -bx1=0 f(x2)=lnx2-a  x 2 2  -bx2=0

 兩式相減，得
ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2) 
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

- ln

x1

x2

]，結合導數的知識可證明

解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
f（x）在（0，+∞）上遞增，∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立
即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min   …（2分）
∵x＞0，

1

x

+2x≥2

2

 當且僅當x=

2

2

時取=
∴b≤2

2

∴b的取值范圍為 (-∞，2

2

]     …（4分）
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

(x-1)(2x+1)

x

…（6分）
∴0＜x＜1時，f′（x）＞0當x＞1時，f′（x）＜0
∴函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0
當x≠1時，f（x）＜f（1）=0即
∴函數f（x）只有一個零點       …（8分）
（Ⅲ）由已知得 

f(x1)=lnx1-a x 2 1 -bx1=0 f(x2)=lnx2-a  x 2 2  -bx2=0

 兩式相減，得
ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2) 
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b=

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b]=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1- x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

- ln

x1

x2

]…（10分）
令t=

x1

x2

∈（0，1）且∅(t)=

2t-2

t+1

-lnt（0＜t＜1）
∴∅′(t)=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0
∴∅（t）在（0，1）上遞減，∴∅（t）＞∅（1）=0
x₁＜x₂，f′（x₀）＜0（12分）

點評：導數與函數的單調性的結合是導數最為基本的考查，而函數的恒成立問題常轉化為利用相關知識求解函數的最值問題，體現了轉化思想在解題中的應用，還考查了運用基本知識進行推理論證的能力