Question

已知函數f(x)＝2sin2 －cos 2x－1(x∈R)．

(1)若函數h(x)＝f(x＋t)的圖象關于點對稱，且t∈(0，π)，求t的值；

(2)設p：x∈，q：|f(x)－m|＜3，若p是q的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）t＝或.（2）(－1,4)

【解析】(1)f(x)＝2sin2 －cos 2x－1

＝1－cos－cos 2x－1＝2sin ，

∴h(x)＝f(x＋t)＝2sin .∴h(x)的對稱中心為，k∈Z，

又已知點為h(x)的圖象的一個對稱中心，∴t＝，k∈Z.

而t∈(0，π)，∴t＝或.

(2)若p成立，即x∈時，

2x－∈，f(x)∈[1,2]，

由|f(x)－m|＜3⇒m－3＜f(x)＜m＋3，

因為p是q的充分不必要條件，⇒－1＜m＜4.

故m的取值范圍為(－1,4)．