Question

（01全國卷理） (12分)

    從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業．根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少．本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加．

    (Ⅰ)設n年內(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業總收入為b_n萬元．寫出a_n，b_n的表達式；

(Ⅱ)至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入？

Answer 1

解析：：（Ⅰ）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×（1－）萬元，……，第n年投入為800×（1－）^n－1萬元．

所以，n年內的總投入為

a_n = 800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）^n－1

                                                                 

                                                                  = 4000×[1－()ⁿ]；                                ……3分

第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×（1＋）萬元，……，第n年旅游業收入為400×（1＋）^n－1萬元．

所以，n年內的旅游業總收入為

b_n = 400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）^n－1

                                                                 

                                                                  = 1600×[ ()ⁿ－1]．                               ……6分

（Ⅱ）設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此

b_n－a_n＞0，

即 1600×[（）ⁿ －1]－4000×[1－（）ⁿ]＞0．

化簡得 5×（）ⁿ＋2×（）ⁿ －7＞0，                            ……9分

設（）ⁿ，代入上式得

5x²－7x＋2＞0，

解此不等式，得

，x＞1(舍去)．

即                           （）ⁿ＜，

由此得                         n≥5．

答：至少經過5年旅游業的總收入才能超過總投入．                   ……12分