Question

已知函數若存在函數使得恒成立，則稱是的一個“下界函數”.

（I） 如果函數為實數為的一個“下界函數”，求的取值范圍；

（Ⅱ）設函數 試問函數是否存在零點，若存在，求出零點個數；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I） （Ⅱ）函數不存在零點.

【解析】

試題分析：（I）解法一：由 得          1分

記則                   2分

當時， 所以在上是減函數，

當時， 所以在上是增函數，     3分

因此 即                 5分

解法二：由 得 

設則                1分

（1）若由知

在上是增函數，在上是減函數，          2分

因為恒成立，所以解得      3分

（2）若當且時，

此與恒成立矛盾，故舍去；               4分

綜上得                            5分

（Ⅱ）解法一：函數

由（I）知即                6分

                 7分

設函數

（1）當時，

在上是減函數，在上是增函數，

故

因為 所以 即            8分

（2）當時，         9分

綜上知 所以函數不存在零點.              10分

解法二：前同解法一，      7分

記 則

所以在上是減函數，在上是增函數，

因此                    9分

故 所以函數不存在零點.              10分

解法三：前同解法一， 因為故         7分

設函數

因此即                    9分

故 所以函數不存在零點.                10分

解法四：前同解法一，因為故          7分

從原點作曲線的切線設切點為，

那么把點代入得所以

所以（當且僅當時取等號），即         9分

故 所以函數不存在零點.               10分

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、極值及函數零點問題。

點評：中檔題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及比較大小問題，通過構造函數，轉化成了研究函數的單調性及最值。涉及函數的零點問題，研究了函數的單調性及在區間端點的函數值的符號。