Question

已知函數f(x)=x³+mx²+nx-2的圖象過點（-1，-6），且函數g(x)=f′(x)+6x是偶函數.
(Ⅰ)求m、n的值；(Ⅱ)若a＞0，求函數y=f(x)在區間（a-1,a+1）內的極值.

Answer 1

解：(Ⅰ)由函數f(x)圖象過點（-1，-6）,得m-n=-3,①………………1分
由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′(x)=3x²+2mx+n,………………………………………2分
則g(x)=f′(x)+6x=3x²+(6+2m)x+n;
而g(x)圖象關于y軸對稱，所以-=0，所以m=-3,
代入①得n=0.………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2.…………………………………………………………5分
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

由此可得:
當0＜a＜1時,f(x)在(a-1,a+1)內有極大值f(0)=-2,無極小值;
當a=1時,f(x)在(a-1,a+1)內無極值;
當1＜a＜3時,f(x)在(a-1,a+1)內有極小值f(2)=-6,無極大值;
當a≥3時,f(x)在(a-1,a+1)內無極值.…………………………………………11分
綜上得：當0＜a＜1時，f(x)有極大值-2，無極小值，當1＜a＜3時，有極小值-6，無極大值，當a=1或a≥3時，f(x)無極值.…………………………………………12分

略