Question

（2011•奉賢區二模）（理）設函數f(x)=ax+

4

x

(x＞0)，a∈R+．
（1）當a=2時，用函數單調性定義求f（x）的單調遞減區間
（2）若連續擲兩次骰子（骰子六個面上分別標以數字1，2，3，4，5，6）得到的點數分別作為a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性定義求單調區間，可先判斷其單調性，再用定義證明，證明時需經過設、差、變、判、結五步解決；
（2）先由f（x）＞b²恒成立，可知f（x）的最小值大于b²，可得a、b間的不等關系，再利用古典概型公式，用列舉法得目標事件在基本事件總數中的比例即可

解答：解：（1）f(x)=2x+

4

x

根據耐克函數的性質，f(x)=2x+

4

x

的單調遞減區間是(0，

2

]，證明如下：
設任意0＜x1＜x2≤

2

，
則f(x1)-f(x2)=2x1+

4

x1

-2x2-

4

x2

=2(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=2(x1-x2)(1-

2

x1x2

)
∵0＜x1＜x2≤

2

∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜2，1-

2

x1x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f(x)=2x+

4

x

的單調遞減區間是(0，

2

]
（2）∵f(x)min≥4

a

∴16a＞b⁴     
基本事件總數為6×6=36，
當a=1時，b=1；
當a=2，3，4，5時，b=1，2，共2×4=8種情況；
當a=6時，b=1，2，3；
目標事件個數為1+8+3=12．因此所求概率為

1

3

．

點評：本題綜合考查了函數單調性的定義及證明方法，函數、不等式與概率的綜合，解題時要認真體會函數問題是怎樣與計數概率聯系起來的