Question

（2012•虹口區三模）已知圓G：x2+y2-2x-

2

y=0經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F及上頂點B．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓外一點M（m，0）（m＞a）傾斜角為

5

6

π的直線l交橢圓于C、D兩點，若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用圓的方程，確定F，B的坐標，進而可得橢圓的方程；
（2）設直線l的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，建立不等式，即可確定m的取值范圍．

解答：解：（1）∵圓G：x2+y2-2x-

2

y=0經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F及上頂點B．
∴F（2，0），B(0，

2

)
∴c=2，b=

2

∴a²=6
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1
（2）設直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)
由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

得2x²-2mx+（m²-6）=0
由△=4m²-8（m²-6）＞0，可得-2

3

＜m＜2

3

，
又m＞

6

，∴

6

＜m＜2

3

（10分）
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

，
∴y1y2=[-

3

3

(x1-m)]•[-

3

3

(x2-m)]=

1

3

x1x2-

m

3

(x1+x2)+

m2

3

∵

FC

=(x1-2，y1)，

FD

=(x2-2，y2)，
∴

FC

•

FD

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=

4

3

x1x2-

(m+6)

3

(x1x2)+

m2

3

+4=

2m(m-3)

3

∵點F在圓G的外部，∴

FC

•

FD

＞0，即

2m(m-3)

3

＞0，
解得m＜0或m＞3，又

6

＜m＜2

3

，
∴3＜m＜2

3

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．