Question

設0＜a＜1，且log_ax+3log_xa-log_xy=3，
（1）設x=a^t（t≠0），以a，t表示y；
（2）若y的最大值為

2

4

，求a，x．

Answer 1

分析：（1）若設x=a^t，試用a、t表示y．首先對等式log_ax+3log_xa-log_xy=3利用換底公式化簡為（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y，然后把x=a^t代入化簡即可．
（2）先根據（1）所解得的函數y=at2-3t+3，然后利用二次函數的性質求如果y有最大值

2

4

時a和x的值

解答：解：（1）已知 log_ax+3log_xa-log_xy=3
即log_ax+3log_xa-3=log_xy
利用換底公式有：log_ax+3log_xa-3=

logay

logax

則（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y．
設x=a^t，則：t=log_a^x．
即：t²-3t+3=log_a^y，
∴y=at2-3t+3．
（2）∵y=f（x）有最大值

2

4

，且0＜a＜1，
∴log_ay有最小值log_a

2

4

當log_ax=

3

2

時，log_a

2

4

=

3

4

∴a=

1

4

此時log

1

4

x=

3

2

∴x=

1

8

，
即a=

1

4

，x=

1

8

為所求

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、對數函數的值域與最值、對數方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．