Question

（04年重慶卷）（12分）

設是一常數，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程

 

 

Answer 1

解析：解法一：由題意，直線AB不能是水平線，  故可設直線方程為：.

  

又設，則其坐標滿足

      消去x得 

      由此得  

     

      因此.

      故O必在圓H的圓周上.

      又由題意圓心H（）是AB的中點，故

     

      由前已證，OH應是圓H的半徑，且.

      從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.

      此時，直線AB的方程為：x=2p.

      解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：ky=x－2p

      又設，則其坐標滿足

   分別消去x，y得

      故得A、B所在圓的方程

      明顯地，O（0，0）滿足上面方程所表示的圓上，

      又知A、B中點H的坐標為

      故

      而前面圓的方程可表示為

      故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O（0，0）.

      又，

      故當k=0時，R²最小，從而圓的面積最小，此時直線AB的方程為：x=2p.

      解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上

      又直徑|AB|=

      上式當時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.

      此時直線AB的方程為x=2p.