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如下圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a,∠ABC=θ,設△ABC的面積為S1，正方形的面積為S2.

(1)用a、θ表示S1和S2；

(2)當a固定，θ變化時，求取最小值時的角θ.

解：(1)∵AC=asinθ,AB=acosθ,∴S1=a2sinθcosθ=a2sin2θ.

    設正方形邊長為x,則BQ=xcotθ,RC=xtanθ,∴xcotθ+x+xtanθ=a,

x=.

∴S2=()2=.

(2)當a固定，θ變化時，

=

=(+sin2θ+4).

    令sin2θ=t,則=(t++4).

∵0＜θ＜,∴0＜t≤1.

    令f(t)=t+,任取t1、t2∈(0,1)，且t1＜t2,

f(t1)-f(t2)=t1-t2+-

=(t1-t2)-

=(t1-t2)().

∵t1-t2＜0,0＜t1t2＜1,t1t2-4＜0,

∴f(t1)-f(t2)＞0.

∴f(t)=t+在(0,1)上是減函數.

∴t=1時，取最小值，此時θ=.

練習冊系列答案
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精英家教網如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC的外面種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花，若BC=a，∠ABC=θ，設△ABC的面積為S1，正方形的面積為S2．
（1）用a，θ表示S1和S2；
（2）當a固定，θ變化時，求
S1S2
取最小值時的角．

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如下圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花．若BC＝a，∠ABC＝，設△ABC的面積為S1，正方形的面積為S2．

(1)用a，表示S1和S2；

(2)當a固定，變化時，求取最小值時角的值．

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（2）當a固定，θ變化時，求取最小值時的角．

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（1）用a，θ表示S1和S2；
（2）當a固定，θ變化時，求取最小值時的角．

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