Question

已知函數，其中為常數，設為自然對數的底數．
（1）若在區間上的最大值為－3，求的值；
（2）當時，試推斷方程是否有實數解．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

第一問中利用導數的思想求解極值，然后利用端點值和極值比較大小，得到最值。
第二問中，利用由（1）知當時，，所以
又令，，令，得
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
∴，即
因此得到結論。
解：（1）………1分
①若，則，從而在上是增函數，
∴，不合題意………2分
②若，則由，即，
由，即
從而在上是增函數，在為減函數
∴，得，即滿足意題……3分
（2）由（1）知當時，，所以………1分
又令，，令，得
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
∴，∴，………4分
∴，即
∴方程沒有實數解．………1分