Question

設是函數的零點．
（1）證明：；
（2）證明：．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）借助導數證明函數在是單調函數，進而確定函數在上有且只有一個零點，進而證明；（2）先將原不等式化為兩個不等式與，先證明不等式，方法1先證明不等式，然后利用放縮法證明，從而證明不等式成立，方法2是在不等式的基礎上利用數學歸納法直接證明不等式成立；再證明不等式
先考察函數的單調性證明，然后就時，將對進行放縮，，進而證明。
試題解析：（1）因為，，且在上的圖像是一條連續曲線，
所以函數在內有零點．                           1分
因為，
所以函數在上單調遞增．                           2分
所以函數在上只有一個零點，且零點在區間內．
而是函數的零點，
所以．                                   3分
（2）先證明左邊的不等式：
因為，
由（1）知，
所以．                                   4分
即．
所以．                                  5分
所以．                   6分
以下證明．             ①
方法1（放縮法）：因為，                7分
所以
．                        9分
方法2（數學歸納法）：1）當時，，不等式①成立．
2）假設當（）時不等式①成立，即
．
那么

．
以下證明．                ②
即證．
即證．
由于上式顯然成立，所以不等式②成立．
即當時不等式①也成立．
根據1）和2），可知不等式①對任何都成立．
所以．                            9分
再證明右邊的不等式：
當時，．
由于，，
所以．                                  10分
由（1）知，且，所以．            11分
因為當時，，                      12分
所以當時，
．
所以當時，都有．
綜上所述，．                       14分