Question

已知等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，給出下列四個有關數列{a_n}的命題：
p₁：如果a₁＞0且q＞1，那么數列{a_n}是遞增的等比數列；
p₂：如果a₁＜0且q＜1，那么數列{a_n}是遞減的等比數列；
p₃：如果a₁＜0且0＜q＜1，那么數列{a_n}是遞增的等比數列；
p₄：如果a₁＞0且0＜q＜1，那么數列{a_n}是遞減的等比數列．
其中為真命題的個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由命題的條件可得數列項的正負，可得

an+1

an

=q的范圍，由不等式的性質可判a_n+1與a_n的大小關系可得數列的單調性．

解答：解：p₁：當a₁＞0且q＞1時，a_n＞0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＞1，即a_n+1＞a_n，
∴數列{a_n}是遞增的等比數列，故為真命題；
p₂：當a₁＜0且q＜1時，不妨取a₁=-1，q=-1，
可得數列為擺動數列，故為假命題；
p₃：當a₁＜0且0＜q＜1時，a_n＜0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＞a_n，
∴數列{a_n}是遞增的等比數列，故為真命題；
p₄：當a₁＞0且0＜q＜1時，a_n＞0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＜a_n，
∴數列{a_n}是遞減的等比數列，故為真命題；
故選：C

點評：本題考查等比數列的增減性，涉及不等式的性質的應用，屬基礎題．