Question

(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)證明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）。

【解析】(I)本小題的關(guān)鍵是證明,進(jìn)而證明即可.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，可以利用向量法求解.要分別求出二面角二個(gè)面的法向量，然后根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)來解.

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821192940965623/SYS201209182120074150708127_DA.files/image004.png">， 由余弦定理得 

從而BD²+AD²= AB²，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD. 故 PABD………………  5分

（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，

 

，，，．

設(shè)平面PAB的法向量為n=（x，y，z），則

即 因此可取n=

設(shè)平面PBC的法向量為m，則

可取m=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值為… 12分