Question

已知點M（3，1），直線ax-y+4=0及圓（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求過M點的圓的切線方程；
（2）若直線ax-y+4=0與圓相切，求a的值；
（3）若直線ax-y+4=0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）點M（3，1）在圓（x-1）²+（y-2）²=4外，故當x=3時滿足與M相切，由此能求出切線方程．
（2）由ax-y+4=0與圓相切知

|a-2+4|

1+a2

=2，由此能求出a．
（3）圓心到直線的距離d=

|a+2|

1+a2

，l=2

3

，r=2，由r²=d²+（

l

2

）²，能求出a．

解答：解：（1）∵點M（3，1）到圓心（1，2）的距離d=

4+1

=

5

＞2=圓半徑r，
∴點M在圓（x-1）²+（y-2）²=4外，
∴當x=3時滿足與M相切，
當斜率存在時設為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
由

|k-2+1-3k|

k2+1

=2，∴k=

3

4

．
∴所求的切線方程為x=3或3x-4y-5=0．（5分）
（2）由ax-y+4=0與圓相切，
知

|a-2+4|

1+a2

=2，（7分）
解得a=0或a=

4

3

．（9分）
（3）圓心到直線的距離d=

|a+2|

1+a2

，（10分）
又l=2

3

，r=2，
∴由r²=d²+（

l

2

）²，解得a=-

3

4

．（12分）

點評：本題考查圓的切線方程的求法和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離、兩點間距離等知識點的合理運用．