Question

（2010•崇明縣二模）若f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f(x)=

1

2-x

，以下命題：
①x＞0時，f(x)=

1

x-2

；
②f（x）在區間（0，+∞）單調遞增；
③f（x）的反函數f^-1（x）的定義域為(-

1

2

，

1

2

)；
④函數y=f（x）的圖象與函數y=f（x-s）-t的圖象關于點(

s

2

，

t

2

)對稱．
其中正確命題的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①利用f（x）是定義在R上的奇函數，求出x＞0時的解析式，再作判斷．
②在①的基礎上，判斷單調性．
③f（x）的反函數f^-1（x）的定義域為即為f（x）的值域，轉化為求f（x）的值域
④根據圖象對稱的定義，進行推導論證，判斷正誤．

解答：解：①當x＞0時，-x＜0，f（-x）═

1

2-(-x)

=

1

2+x

，f（x）=-f（-x）=-

1

2+x

 ①錯
②由①，f（x）在區間（0，+∞）y隨x的增大而增大，是增函數．②對．
③f（x）的反函數f^-1（x）的定義域即為f（x）的值域．由于f（x）≠0，0∉(-

1

2

，

1

2

)；③錯．
④設p（x，y）是函數y=f（x-s）-t的圖象上任意一點，則有y=f（x-s）-t④′
p關于點(

s

2

，

t

2

)的對稱點p′（s-x，t-y）由④′得不出f（s-t）=t-y，所以點p′不一定在函數y=f（x）的圖象上．④錯．
故選A

點評：本題考查函數的奇偶性、反函數概念、圖象的對稱性．考查轉化、計算、論證能力．