Question

（2012•朝陽區一模）已知各項均為非負整數的數列A₀：a₀，a₁，…，a_n（n∈N^*），滿足a₀=0，a₁+…+a_n=n．若存在最小的正整數k，使得a_k=k（k≥1），則可定義變換T，變換T將數列A₀變為T（A₀）：a₀+1，a₁+1，…，a_k-1+1，0，a_k+1，…，a_n．設A_i+1=T（A_i），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若數列A₀：0，1，1，3，0，0，試寫出數列A₅；若數列A₄：4，0，0，0，0，試寫出數列A₀；
（Ⅱ）證明存在數列A₀，經過有限次T變換，可將數列A₀變為數列n，

0，0，…，0

n個

；
（Ⅲ）若數列A₀經過有限次T變換，可變為數列n，

0，0，…，0

n個

．設S_m=a_m+a_m+1+…+a_n，m=1，2，…，n，求證am=Sm-[

Sm

m+1

](m+1)，其中[

Sm

m+1

]表示不超過

Sm

m+1

的最大整數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據新定義，首項分別取1，2，3，4，5，從而可寫出其余各項；
（Ⅱ）若數列A₀：a₀，a₁，…，a_n滿足a_k=0及a_i＞0（0≤i≤k-1），則定義變換T^-1，變換T^-1將數列A₀變為數列T^-1（A₀）：a₀-1，a₁-1，…，a_k-1-1，k，a_k+1，…，a_n．可驗證數列A₀滿足條件；
（Ⅲ）顯然a_i≤i（i=1，2，…，n），由變換T的定義可知數列A₀每經過一次變換，S_k的值或者不變，或者減少k，由于數列A₀經有限次變換T，變為數列n，0，…，0時，有S_m=0，m=1，2，…，n，從而可得S_m=a_m+S_m+1=a_m+（m+1）t_m+1，0≤a_m≤m，由此可得結論．

解答：（Ⅰ）解：若A₀：0，1，1，3，0，0，則A₁：1，0，1，3，0，0；A₂：2，1，2，0，0，0； A₃：3，0，2，0，0，0；A₄：4，1，0，0，0，0； A₅：5，0，0，0，0，0．
若A₄：4，0，0，0，0，則 A₃：3，1，0，0，0； A₂：2，0，2，0，0； A₁：1，1，2，0，0； A₀：0，0，1，3，0．．…．…（4分）
（Ⅱ）證明：若數列A₀：a₀，a₁，…，a_n滿足a_k=0及a_i＞0（0≤i≤k-1），則定義變換T^-1，變換T^-1將數列A₀變為數列T^-1（A₀）：a₀-1，a₁-1，…，a_k-1-1，k，a_k+1，…，a_n．可得T^-1和T是互逆變換．
對于數列n，0，0，…，0連續實施變換T^-1（一直不能再作T^-1變換為止）得n，0，0，…，0

T-1

n-1，1，0，…，0

T-1

n-2，0，2，0，…，0

T-1

n-3，1，2，0，…，0

T-1

…

T-1

a₀，a₁，…，a_n，
則必有a₀=0（若a₀≠0，則還可作變換T^-1）．
反過來對a₀，a₁，…，a_n作有限次變換T，即可還原為數列n，0，0，…，0，因此存在數列A₀滿足條件．…（8分）
（Ⅲ）證明：顯然a_i≤i（i=1，2，…，n），這是由于若對某個i₀，ai0＞i0，則由變換的定義可知，ai0通過變換，不能變為0．
由變換T的定義可知數列A₀每經過一次變換，S_k的值或者不變，或者減少k，由于數列A₀經有限次變換T，變為數列n，0，…，0時，有S_m=0，m=1，2，…，n，
所以S_m=mt_m（t_m為整數），于是S_m=a_m+S_m+1=a_m+（m+1）t_m+1，0≤a_m≤m，
所以a_m為S_m除以m+1后所得的余數，即am=Sm-[

Sm

m+1

](m+1)．…（13分）

點評：本題考查新定義，考查學生接受新概念的能力，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大．