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(本小題滿分14分)已知直線經過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AP，BP與直線分別交于M，N兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN的長度的最小值；

(3)當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在上變化時，討論S的大小與Q點的個數之間的關系.

解：

(1)由已知得橢圓C的左頂點為，上頂點為D(0，2)，∴，故橢圓C的方程為. ·····2分

(2)直線的斜率顯然存在，且，故可設直線AP的方程為，從而

，設，則，∴直線的方程為：，

得

∴

當且僅當即時等號成立

∴時，線段MN的長度取最小值3. ·················8分

(3)由(2)知，當線段MN的長度取最小值時，，此時直線BP的方程為

設與BP平行的直線

聯立得

由△＝得

當時，BP與的距離為，此時S_△BPQ＝

∴當時，這樣的Q點有4個

當時，這樣的Q點有3個

當時，這樣的Q點有2個

當時，這樣的Q點有1個

當時，這樣的Q點不存在

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