Question

把地球看作半徑為R的球，設A、B兩地緯度相同，都是α度，它們的經度相差β度（0＜β≤180°），求A、B兩地之間的球面距離．

Answer 1

分析：畫出圖形，由于A、B兩地緯度相同，都是α度，先求緯圓半徑，通過經度相差β度，解出AB距離，求出AB的球心角，然后求其球面距離．

解答：解：A、B兩地之間的球面距離為過A、B所作之大圓的圓弧AB的長，
設其長為L，且設∠AOB=θ
過A、B作平面O₁AB⊥NS（極軸），
此平面與球面交成圓O₁．
設其半徑為r，由已知，∠AO₁B=β．
設C、D分別為赤道平面上與點A、B同經度之兩點，
則由已知，∠AOC=∠BOD=α．
在過A、B的大圓上有L=

πRθ

180

由此可知，只需求出θ即可．
在圓O₁中，線段AB=2rsin

β

2

，
又在過A、C的大圓中，因為∠OO₁A=90°，
∠OAO₁=α，所以r=Rcosα
代入上式，可得線段AB=2Rcosαsin

β

2

．
在△AOB中，線段AB=2Rsin

θ

2

，
于是可得2Rsin

θ

2

=2Rcosαsin

β

2

，
所以θ=2arcsin(cosαsin

β

2

)．
由此可得A、B兩地之間的球面距離為L=

2πR

180

arcsin(cosαsin

β

2

)．
此處之角度以度為單位．

點評：本題考查球面距離，經度不同緯度相同的一般問題，具體規律性，是中檔題，好題．