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已知a>0，函數f(x)＝ax2－ln x.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)當a＝時，證明：方程f(x)＝f 在區間(2，＋∞)上有唯一解．
（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）見解析
(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－＝.
∵a>0，令f′(x)>0得x>；令f′(x)<0，得0<x<，
∴函數f(x)的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
(2)證明：當a＝時，f(x)＝x2－ln x，由(1)知f(x)的單調遞減區間為(0，2)，單調遞增區間為(2，＋∞)，
令g(x)＝f(x)－f ，則g(x)在區間(2，＋∞)單調遞增且g(2)＝f(2)－f <0，g(e2)＝－2－＋ln>0，
故方程f(x)＝f 在區間(2，＋∞)上有唯一解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數
（1）當a＝2時，求函數y＝f(x)的圖象在x=0處的切線方程；
（2）判斷函數f(x)的單調性；
（3）求證：

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調區間及極值；
(2)求證：當a>ln2－1且x >0時，ex>x2－2ax＋1

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x2－.
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的單調區間，并證明對[－1，1]上的任意x1，x2，x3，都有F(x1)＋F(x2)>F(x3)；
(2)將y＝f(x)的圖像向下平移a(a>0)個單位，同時將y＝g(x)的圖像向上平移b(b>0)個單位，使它們恰有四個交點，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設是函數（）的兩個極值點
（1）若，求函數的解析式；
（2）若，求的最大值。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數f(x)＝aln x＋x2(a>0)，若對定義域內的任意x，f′(x)≥2恒成立，則a的取值范圍是________．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

定義在R上的函數f(x)滿足f(1)＝1且對一切x∈R都有f′(x)<4，則不等式f(x)>4x－3的解集為(　　)
A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知、都是定義在R上的函數，，，，，則關于x的方程（）有兩個不同實根的概率為     .

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設函數f(x)＝(x＋1)ln x－2x.
(1)求函數的單調區間；
(2)設h(x)＝f′(x)＋，若h(x)>k(k∈Z)恒成立，求k的最大值．

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