Question

設(shè)x＞0,求證:1+x+x²+…+x²ⁿ≥(2n+1)xⁿ.

Answer 1

證明：(1)x≥1時(shí),1≤x≤x²≤…≤xⁿ,

∴|x|+x·x+x²·x²+…+xⁿ·xⁿ≥1·xⁿ+x·x^n-1+…+x^n-1·x+xⁿ·1,

即1+x²+x⁴+…+x²ⁿ＞(n+1)·xⁿ,

1·x+x·x²+…+x^n-1·xⁿ+xⁿ·1≥1·xⁿ+x·x^n-1+…+x^n-1·x+xⁿ·1,

即x+x³+…+x^2n-1+xⁿ≥(n+1)xⁿ.

兩式相加,得1+x+x²+…+x²ⁿ≥(2n+1)xⁿ.

(2)當(dāng)0＜x＜1時(shí),有xⁿ≤x^n-1≤…≤x²≤x＜1,

此時(shí)上面證明仍然成立.

綜合(1)(2),知1+x+x²+…+x²ⁿ≥(2n+1)xⁿ.