Question

函數f(x)=ax³+3x²+3x(a≠0).
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）若函數f(x)在區間（1，2）是增函數，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）a≥1時，在（-，+）是增函數；0<a<1時, f（x）在（－，x₂），（x₁，+）上是增函數；f（x）在（x₂，x₁）上是減函數；（2）

解析試題分析：（1）首先求出函數的導數，然后求出是或的解集即可.
（2）分類討論在區間（1，2）上使成立的條件，并求出參數a的取值范圍即可
試題解析：（1），的判別式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，則，且當且僅當a=1，x=-1，故此時f（x）在R上是增函數.
（ii）由于a≠0，故當a<1時，有兩個根：，
若0<a<1,則當x∈（－，x₂）或x∈（x₁，+）時，，故f（x）在（－，x₂），（x₁，+）上是增函數；
當x∈（x₂，x₁）時，，故f（x）在（x₂，x₁）上是減函數；
（2）當a>0，x>0時, ，所以當a>0時，f（x）在區間（1，2）是增函數.
若a<0時，f（x）在區間（1,2）是增函數當且僅當且，解得.
綜上，a的取值范圍是.
考點：1.函數的導數；2.導數性質的應用.