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已知函數（e為自然對數的底數）．

（1）求函數的單調增區間；

（2）設不等式的解集為M，且集合，求實數t的取值范圍．

 

【答案】

（1）當時，函數的單調增區間為；當時，函數的單調增區間為。

（2）

【解析】

試題分析：解：（1）∵ ，。    1分

當時，有在R上恒成立；    3分

當時，由可得。    5分

綜上可得，當時，函數的單調增區間為；當時，函數的單調增區間為。    6分

（2）由不等式即的解集為M，且，可知，對于任意，不等式即恒成立．     8分

令，∴．     9分

當時，；當時，．

∴函數在上單調遞增；在上單調遞減．

所以函數在處取得極大值，即為在上的最大值． 11分

∴實數t的取值范圍是．     12分

考點：導數研究函數單調性

點評：考查學生利用導數研究函數單調性和最值等問題的能力。要準確求出函數的導數，注意的取值范圍；同時要注意對條件進行有效轉化。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（12分）已知函數且e為自然對數的底數）。

（1）求的導數，并判斷函數的奇偶性與單調性；

（2）是否存在實數t，使不等式對一切都成立，若存在，求出t；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年寧夏高三上學期第五次月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數（k為常數，e=2.71828……是自然對數的底數），曲線在點處的切線與x軸平行。

（1）求k的值；

（2）求的單調區間；

（3）設，其中為的導函數，證明：對任意，。

 

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科目：高中數學 來源：2013屆江西省四校度高二下學期期末聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數，(e為自然對數的底數)

（Ⅰ）當a=1時，求函數f(x)的單調區間；

（Ⅱ）若函數f(x)在上無零點，求a的最小值；

（III）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求a的取值范圍.

 

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科目：高中數學 來源：2010年江蘇省南京市高三上學期期中考試數學試題 題型：解答題

若存在實數k，b，使得函數和對其定義域上的任意實數x同時滿足：，則稱直線：為函數的“隔離直線”。已知（其中e為自然對數的底數）。試問：

   （1）函數的圖象是否存在公共點，若存在，求出交點坐標，若不存在，說明理由；

   （2）函數是否存在“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的方程；若不存在，請說明理由。

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

(本大題滿分13分)
若存在常數k和b (k、b∈R)，使得函數和對其定義域上的任意實數x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對數的底數)．
(1)求的極值；
(2)函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．



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