Question

（本小題滿分12分）

已知函數，其定義域為（）,設.

（Ⅰ）試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數；

（Ⅱ）試判斷的大小并說明理由；

（Ⅲ）求證：對于任意的,總存在，滿足,并確定這樣的的個數.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）證明見解析。

【解析】

（Ⅰ）因為……1分

由；由,所以在上遞增,在上遞減……3分

要使在上為單調函數,則……4分

（Ⅱ）.

因為在上遞增,在上遞減，所以在處取得極小值……6分

 又，所以在上的最小值為 ……8分

 從而當時,，即……9分

（Ⅲ）證：因為，所以，即為,

   令,從而問題轉化為證明方程=0在上有解,并討論解的個數……10分

   因為,,所以 ①當時,,所以在上有解,且只有一解……12分

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解……13分

③當時,,所以在上有且只有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解……14分

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當時,有唯一的適合題意；當時,有兩個適合題意.