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已知O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A=
π
4
，若
cosB
sinC
•
AB
+
cosC
sinB
•
AC
=2m
AO
，則m，的值為（　　）
分析：根據三角形內心的充要條件：若O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，P是平面內任一點，則
PO
=
cosA
2sinB•sinC
PA
+
cosB
2sinA•sinC
PB
+
cosC
2sinA•sinB
PC
，代入A=
π
4
，并令P與A點重合，可構造關于m的方程．
解答：解：∵O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，根據外心的充要條件可得，
對于平面內任意點P均有：
PO
=
cosA
2sinB•sinC
PA
+
cosB
2sinA•sinC
PB
+
cosC
2sinA•sinB
PC

令P與A點重合，由A=
π
4
可得：
則
AO
=
cosB
2
•sinC
AB
+
cosC
2
•sinB
AC
=
2
（
cosB
sinC
•
AB
+
cosC
sinB
•
AC
）
又∵
cosB
sinC
•
AB
+
cosC
sinB
•
AC
=2m
AO
，
∴2m=
2

∴m=
2
2

故選A
點評：本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，其中熟練掌握三角形內心的充要條件：若O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，P是平面內任一點，則
PO
=
cosA
2sinB•sinC
PA
+
cosB
2sinA•sinC
PB
+
cosC
2sinA•sinB
PC
，是解答的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知O是銳角三角形△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=（　　）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知O是銳角三角形△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=（　　）
A．sinθB．cosθC．tanθD．不能確定

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省金華一中高三（上）10月月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A=，若，則m，的值為（ ）
A．
B．1
C．
D．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖北省荊州市公安三中高三（上）數學積累測試卷10（解析版） 題型：選擇題

已知O是銳角三角形△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若，則m=（ ）
A．sinθ
B．cosθ
C．tanθ
D．不能確定

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