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已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過點D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點，O為坐標原點，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．
（Ⅰ）若曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1是焦點在x軸上的橢圓，
則有m+2＞3-m＞0，
解得
1
2
＜m＜3．
∴m的取值范圍是（
1
2
，3）．（3分）
（Ⅱ）m=2時，曲線C的方程為
x2
4
+y2=1，C為橢圓，
由題意知，點D（0，4）的直線l的斜率存在，
∴設(shè)l的方程為y=kx+4，
由
x2
4
+y2=1，
y=kx+4

消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0．（5分）
△=（32k）2-240（1+4k2）=64k2-240，
當(dāng)△＞0時，解得k2＞
15
4
．
設(shè)M，N兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），
因為∠OMN為直角，所以kOM•k=-1，即
y1
x1
•
y1-4
x1
=-1，
整理得
x21
=4y1-
y21
．①（7分）
又
x21
4
+
y21
=1，②，
將①代入②，消去x1得3
y21
+4y1-4=0，
解得y1=
2
3
或y1=-2（舍去），
將y1=
2
3
代入①，得x1=±
2
3
5
，
∴k=
y1-4
x1
=±
5
．
故所求k的值為±
5
．（9分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為4且b=
3
．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點，求△F1PQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個公共點；
（2）設(shè)直線l與雙曲線C的公共點為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設(shè)P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，當(dāng)△PF1F2為等腰三角形時，求e的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點F的直線l與橢圓交于點A、B，定直線x=4交x軸于點K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
滿足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；
（2）過點A1且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A1BC為正三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

矩形ABCD的中心在坐標原點，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點．設(shè)直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點依次為L，M，N．
（1）求以HF為長軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）．
（3）設(shè)線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點從上向下依次為Ti（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結(jié)果即可，此問不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，拋物線y2=2
5
x的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線經(jīng)過點(1，
3
)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實數(shù)k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直角坐標平面內(nèi)點A（x，y）到點F1（-1，0）與點F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點，點P(1，
3
2
)為軌跡M上一點，記直線PC的斜率為k1，直線PD的斜率為k2，試問：k1+k2是否為定值？請證明你的結(jié)論．

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同步練習(xí)冊答案