已知函數f(x)的導函數為f ′(x)，且對任意x＞0，都有f ′(x)＞
．
（Ⅰ）判斷函數F(x)＝在(0，＋∞)上的單調性；
（Ⅱ）設x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．
（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數；（Ⅱ）f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn).
解析試題分析：（Ⅰ）判斷F(x)的單調性，則需對F(x)求導，得F′(x)＝
，∵f ′(x)＞，x＞0，則xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數.（Ⅱ）要證明f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，可以從第（Ⅰ）的結論入手，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，則F(x1)＜F(x1＋x2)，即
＜
，而x1＞0，所以f(x1)＜
f(x1＋x2)，同理f(x2)＜
f(x1＋x2)，兩式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，得證.（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：設x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．證明的方法同（Ⅱ）的證明，∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜
，而x1＞0，所以f(x1)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，同理f(x2)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，……
f(xn)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，以上n個不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，得證.
試題解析：（Ⅰ）對F(x)求導數，得F′(x)＝．
∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，
∴F′(x)＞0．
故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數．
（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，
∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜．
∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)．
同理可得f(x2)＜f(x1＋x2)．
以上兩式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．
（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：
設x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，
∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，
∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜．
∵x1＞0，
∴f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
同理可得
f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，
f(x3)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，
……
f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
以上n個不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
考點：1.利用導數求單調性；2.利用函數單調性證明不等式.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，恒過定點
．
（1）求實數
；
（2）在（1）的條件下，將函數
的圖象向下平移1個單位，再向左平移個單位后得到函數
，設函數的反函數為
，直接寫出的解析式；
（3）對于定義在
上的函數
，若在其定義域內，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
，其中a為正實數．
(l)若x=0是函數
的極值點，討論函數
的單調性；
(2)若在
上無最小值，且在上是單調增函數，求a的取值范
圍；并由此判斷曲線與曲線
在交點個數．
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，其對應的圖像為曲線C；若曲線C過
，且在
的解析式
.
的解析表達式；
．
在
上恒成立，求m取值范圍；
（
）． 
）
.
的單調區間；
與
有三個不同的交點，求實數
的取值范圍.
在
上的最小值；
恒成立，求實數
的取值范圍；
，都有
成立.
，
.
的單調性；
時，
恒成立，求
的取值范圍．