Question

已知向量

m

=(2cosωx，1)，

n

=(

3

sinωx-cosωx，a)，其中（x∈R，ω＞0），函數f(x)=

m

•

n

的最小正周期為π，最大值為3．
（I）求ω和常數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）利用數量積化簡函數，通過二倍角、兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，利用周期求出ω，通過最大值求出a的值；
（Ⅱ）結合（I）得到函數的表達式，利用正弦函數的單調增區間，求函數f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（I）f(x)=

m

•

n

=2

3

sinωxcosωx-2cos2ωx+a（1分）
=

3

sin2ωx-cos2ωx-1+a=2sin(2ωx-

π

6

)+a-1（3分）
由T=

2π

2ω

=π，得ω=1．（4分）
又當sin(2ωx-

π

6

)=1時y_max=2+a-1=3，得a=2（6分）
（Ⅱ）由（I）知f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1當2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)（8分）
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（10分）
故f（x）的單調增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）（12分）

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，函數的周期、最值、單調增區間，考查計算能力，常考題型．