Question

設l是直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是

②

①若l∥α，l∥β，則α∥β；  ②若l∥α，l⊥β，則α⊥β；  ③若α⊥β，l⊥α，則l⊥β；  ④若α⊥β，l∥α，則l⊥β．

Answer 1

分析：①若l∥α，l∥β，則α∥β，構造反例；
 ②若l∥α，l⊥β，則α⊥β；由線面平行的性質定理及面面垂直的判定定理可判斷；
 ③若α⊥β，l⊥α，則l⊥β，構造反例；
 ④若α⊥β，l∥α，則l⊥β，構造反例；

解答：解：①由l∥α，l∥β，不一定推出α∥β．反例如圖：
 
所以①不正確；
②如圖所示：

過l作平面γ交平面α于直線a，
因為l∥α，所以l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，
a?α，故α⊥β，所以②正確；
③由α⊥β，l⊥α，不能推出l⊥β；反例如圖：故③不正確；

④若α⊥β，l∥α，未必有l⊥β．反例如圖：
故④不正確；

點評：本題考查命題真假的判斷及空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系，考查了相關的判定定理及性質定理，本題還考查空間想像能力及運用題設條件組織證明的能力．