Question

（理）已知數列{a_n}滿足a₁=2，前n項和為S_n，an+1=

pan+n-1(n為奇數) -an-2n(n為偶數)

．
（1）若數列{b_n}滿足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），試求數列{b_n}前3項的和T₃；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=a_2n，試判斷{c_n}是否為等比數列，并說明理由；
（3）當p=

1

2

時，對任意n∈N^*，不等式S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），結合 an+1=

pan+n-1(n為奇數) -an-2n(n為偶數)

可得數列{b_n}是一個等差數列，求出通項后，利用求和公式可求T₃
（2）當p=

1

2

時，易得數列{C_n}是一個等比數列，但是當p≠

1

2

時，數列{c_n}不為等比數列，根據等比數列的定義，代入易驗證結論
（3）由（1）（2）的結論，利用等差數列的求和公式可求S_2n+1，結合{S_2n+1}單調性可求最大值，而S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，即S_2n+1最大值≤log

1

2

(x2+3x)，解不等式可求x

解答：解：（1）據題意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，
所以{b_n}成等差數列，故Tn=

-4-4n

2

•n=-2n（n+1）（4分）
∴T₃=-24
（2）（理）當p=

1

2

時，數列{c_n}成等比數列；
當p≠

1

2

時，數列{c_n}不為等比數列
理由如下：因為c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，
故當p=

1

2

時，數列{c_n}是首項為1，公比為-

1

2

等比數列；
當p≠

1

2

時，數列{c_n}不成等比數列
（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差數列
當p=

1

2

時a2n=cn=(-

1

2

)n-1，
因為S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=2+（-4-8-12-…-4n）
=-2n²-2n+2（n≥1）
又S_2n+3-S_2n+1=-4n-4＜0所以{S_2n+1}單調遞減
當n=1時，S₃最大為-2所以-2≤log

1

2

(x2+3x)
∴

x2+3x＞0 x2+3x≤4

⇒x∈[-4，-3)∪(0，1]

點評：本題考查的知識點是等比關系的確定，數列的求和，其中熟練掌握等差數列、等比數列的定義，能熟練的判斷一個數列是否為等差（比）數列是解答本題的關鍵．